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前幾天，一篇加州理工和MIT研究者用ChatGPT證明數(shù)學定理的論文爆火，在數(shù)學圈引發(fā)了極大關注。

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(資料圖片僅供參考)

英偉達首席科學家Jim Fan激動轉(zhuǎn)發(fā)，稱AI數(shù)學Copilot已經(jīng)到來，下一個發(fā)現(xiàn)新定理的，就是全自動AI數(shù)學家了！

紐約時報近日也發(fā)文，稱數(shù)學家們做好準備，AI將在十年內(nèi)趕上甚至超過最優(yōu)秀的人類數(shù)學家。

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而陶哲軒本人，也轉(zhuǎn)發(fā)了此文。

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Siobhan Roberts參加了今年Machine Assisted Proofs舉辦的IPAM研討會，隨后她根據(jù)自己的經(jīng)歷和采訪，寫下了這篇關于AI和數(shù)學的文章

如今，數(shù)學家們不得不正視一股最新的革命性力量——AI。

2019年，谷歌前雇員、現(xiàn)任灣區(qū)初創(chuàng)公司員工的計算機科學家Christian Szegedy預測，計算機系統(tǒng)將在十年內(nèi)趕上或超過最優(yōu)秀的人類數(shù)學家解決問題的能力。而去年，他把目標日期修改為2026年。

卡內(nèi)基梅隆大學的邏輯學家Jeremy Avigad（藍衣服），與學生在形式化數(shù)學暑期學校中

2018年菲爾茲獎得主、普林斯頓高等研究院的數(shù)學家Akshay Venkatesh目前還對使用AI不感興趣，但他十分熱衷于討論AI相關的話題。

去年的采訪中，Venkatesh表示，「我希望我的學生意識到，這個領域會發(fā)生非常大的變化。」

而最近他的態(tài)度是：「我不反對通過深思熟慮、甚至刻意地使用AI，來輔助人類的理解。但我堅信，對于我們使用它的方式，我們需要保持正念，慎之又慎。」

在今年二月，加州大學洛杉磯分校理論與應用數(shù)學研究所，曾舉行了一場關于「機器輔助證明」的研討會。

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研討會的主要組織者，就是2006年的菲爾茲獎得主、在UCLA任職的數(shù)學家陶哲軒。

他指出，用AI輔助數(shù)學證明，其實是非常值得關注的現(xiàn)象。

直到最近幾年，數(shù)學家才開始擔心AI的潛在威脅，無論是AI對于數(shù)學美學的破壞，還是對于數(shù)學家本身的威脅。

而杰出的社區(qū)成員們，正在把這些問題擺上臺面，開始探索如何「打破禁忌」。

暑期學校的組織者，自左至右：Avigad，Patrick Massot和Heather Macbeth

幾千年來，數(shù)學家已經(jīng)早已適應了邏輯和推理的最新進展。不過，他們準備好迎接人工智能了嗎？

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洛杉磯蓋蒂博物館中17世紀古希臘數(shù)學家歐幾里得的肖像：他衣衫襤褸，舉著自己的幾何論文《元素》

2000多年來，歐幾里得的文本一直是數(shù)學論證和推理的范式。

卡內(nèi)基梅隆大學邏輯學家Jeremy Avigad說，歐幾里得以近乎詩意的「定義」開始，在此基礎上建立了當時的數(shù)學——使用基本概念、定義和先前的定理，每個連續(xù)的步驟都「清楚地遵循」以前的步驟，以這樣一種方式證明事物。

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有人抱怨說，歐幾里得的一些「明顯」的步驟，其實不太明顯，但Avigad博士說，但這個系統(tǒng)奏效了。

但是到20世紀以后，數(shù)學家們不愿意再將數(shù)學建立在這種直觀的幾何基礎上了。

相反，他們開發(fā)了正式的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)中有著精確的符號表示和機械的規(guī)則。

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https://kilthub.cmu.edu/articles/journal_contribution/A_Formal_System_for_Euclid_s_Elements/6490703

最終，在這種系統(tǒng)下，數(shù)學可以被翻譯為計算機代碼。

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1976年，四色定理成為第一個在暴力計算的幫助下被證明的主要定理。

四色定理：四種顏色足以填充地圖，使得沒有兩個相鄰區(qū)域顏色相同

有這樣一個數(shù)學小工具，被稱為證明助手，或交互式定理證明器。

數(shù)學家會一步一步地將證明轉(zhuǎn)換為代碼，然后用軟件程序檢查推理是否正確。

驗證過程會累積在一個動態(tài)規(guī)范參考庫中，其他人都可以查閱。

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https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/formal_turn.pdf

霍斯金森形式數(shù)學中心主任Avigad博士說，這種類型的形式化為今天的數(shù)學奠定了基礎，就像歐幾里得試圖將那個時代的數(shù)學轉(zhuǎn)碼，從而為其提供基礎一樣。

最近，開源證明助手系統(tǒng)Lean再次引發(fā)了大量關注。

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Lean是現(xiàn)在的亞馬遜計算機科學家Leonardo de Moura在微軟時開發(fā)的。

Lean使用的是自動推理，由老式的AI GOFAI提供支持，這是一個受邏輯啟發(fā)的象征式AI。

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截至目前，Lean已經(jīng)驗證了一個將球體從內(nèi)到外轉(zhuǎn)動的有趣定理，以及一個統(tǒng)一數(shù)學領域方案的關鍵定理。

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但是，證明助手也有缺點：它會時常抱怨自己不理解數(shù)學家輸入的定義、公理或推理步驟，因此它也被賜名「證明抱怨器」。

這些抱怨會讓研究變得繁瑣，但Fordham大學的數(shù)學家Heather Macbeth表示，這類提供逐行反饋的功能，也會讓系統(tǒng)對教學很有用。

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https://leanprover-community.github.io/courses.html

今年春天，Macbeth博士曾設計了一門「雙語」課程，她將黑板上的每個問題都翻譯成講義中的Lean代碼，學生們需要用Lean和自然語言提交解決方案。

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https://hrmacbeth.github.io/math2001/

「這給了他們信心，」Macbeth博士說，因為他們會收到即時反饋，關于證明何時完成，以及沿途的每一步是對還是錯。

而在參加研討會后，約翰霍普金斯大學的數(shù)學家Emily Riehl也嘗試了一把。

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約翰霍普金斯大學的數(shù)學家Emily Riehl一直在使用實驗證明輔助程序

她用了一個證明助手小程序，來證明自己此前發(fā)表過的文章中的定理。

使用完后，她大為震驚?！肝椰F(xiàn)在很深入得了解了證明的過程，比我之前的理解要深刻得多。我的思路如此清晰，以至于我可以向最蠢的計算機解釋清楚。」

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學生們在數(shù)學形式化暑期學校期間參加的一個小組項目

另一個計算機科學家們經(jīng)常會用來解決一些數(shù)學問題的工具叫做「暴力推理」，但是數(shù)學界對于這種方法卻常常嗤之以鼻。

然而，AI科學家們好像并不太在意數(shù)學家們的想法，不斷地用他們自己熟悉的辦法，去攻占數(shù)學「高地」。

卡耐基梅隆大學的計算機科學家Heule曾經(jīng)在2016年用一個200T的「SAT 求解器」文件去解決「布爾畢達哥拉斯三元組問題」。

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https://cacm.acm.org/magazines/2017/8/219606-the-science-of-brute-force/fulltext

《自然》雜志在文章中卻說到：200T的證明是史上最大的證明過程，用這些工具解決問題是否真的算數(shù)學？

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但是在解決問題的論文作者本人，計算機科學家Heule看來，「這種方法是解決超過人類能力范圍的問題所必須的?！?/p>

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同樣的，在國際象棋比賽中戰(zhàn)勝了人類（AlphaZero）之后，DeepMind又設計了機器學習算法來解決蛋白質(zhì)折疊（AlphaFold）。

DeepMind發(fā)表了一篇論文，認為他們?nèi)〉眠@些成果的方式，是通過AI來引導人類的直覺，從而推進數(shù)學發(fā)展。

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https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

而一位前谷歌計算機科學家，現(xiàn)在正在灣區(qū)創(chuàng)業(yè)的Yuhuai Wu也表示，自己的創(chuàng)業(yè)的方向就是利用機器學習來解決數(shù)學問題。

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他目前的項目，Minerva，就是一個用來解決數(shù)學模型的微調(diào)大語言模型。

未來，他希望這個項目能成長為一個「自動化數(shù)學家」，可以作為一個通用研究助理來「獨立解決數(shù)學問題」。

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另一方面，很多深度接觸過AI技術的數(shù)學家也對AI在數(shù)學研究中不被重視提出了擔心。

他們認為，人工智能技術經(jīng)常能夠「直接地」幫助數(shù)學家們「找到」自己想要的答案。

雖然數(shù)學家或者AI專家們都搞不清楚AI是如何找到這個答案的。

與DeepMind合作過的數(shù)學家Geordie Williamson曾經(jīng)分享了一段與DeepMind合作的經(jīng)歷。

他在和DeepMind合作的過程中，DeepMind發(fā)現(xiàn)的一個神經(jīng)網(wǎng)絡可以預測他認為很重要的數(shù)據(jù)值，而且異常準確。

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他就很努力地去試圖理解AI是如何做到的，因為這可能成為一個定理的基礎。

但他最后還是沒辦法搞懂AI的邏輯，而且DeepMind的人也沒法做到。

就像歐幾里得一樣，神經(jīng)網(wǎng)絡以某種方式找到了真理，但是邏輯原因卻很難被理解。

另一方面，從這位數(shù)學家的角度看來，推理是數(shù)學的精髓，但卻是機器學習中一直缺少的一塊拼圖。

在科技圈中，如果有一個黑箱在大部分情況下都能提供解決問題的方法，科技圈就會非常滿足了。

AI就是這樣一個黑箱。

但是數(shù)學家們卻不會滿足于這種狀況。

這位數(shù)學家看來，嘗試理解神經(jīng)網(wǎng)絡的原理會引發(fā)出令人著迷的數(shù)學問題。

而解決這些問題，會讓數(shù)學家「為世界做出有意義的貢獻」。

如果AI生成的假設定理充斥整個世界，我們該怎么做？

網(wǎng)友對此發(fā)出靈魂拷問，我對AI系統(tǒng)提出新的假設/公式是第一步有所懷疑，因為DeepMind早已在紐結理論中做到了。

我想知道，社區(qū)將如何應對AI輸出的大量新假設。check人工智能創(chuàng)建的邏輯論點是一回事；被數(shù)百萬個「哦，這可能是真的」建議淹沒是另一回事。我不認為我們現(xiàn)有的評論和出版系統(tǒng)為此做好了準備。

這會對人們對數(shù)學的信任產(chǎn)生什么影響？

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有人認為，機器并不能很快就能完成數(shù)學研究，但可以看到它改變了研究方式，就像機器學習模型和計算能力如何改變了生物學領域一樣。

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還有網(wǎng)友表示，從AlphaDev開始，我就一直在思考這個問題，但是同樣的程序可以構建排序算法，也可以使用自動證明檢查器來證明數(shù)學定理。真正的問題是它是否可以用來證明一些重要的東西，而不僅僅是微不足道的發(fā)現(xiàn)。

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不過還是有網(wǎng)友依然對GPT類的工具能否真的發(fā)現(xiàn)有價值的真理持懷疑態(tài)度。

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也有網(wǎng)友指出，可能人類和AI對于數(shù)學理解和關注本就有區(qū)別，AI證明了什么是真的，而人類總是關注為什么它是真的。

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